El Higgs y las simetrías del universo

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“El criterio matemático siempre es sintético”

                                 Immanuel Kant

Tímido y pensativo, el hijo de un rico mercader de la Italia medieval, alguna vez propuso que la naturaleza tiene escondida las matemáticas en su esencia. Era nada menos que el brillante matemático Leonardo Fibonacci, y probablemente no estaba equivocado. Durante la aventura humana del desarrollo del conocimiento hemos caído rendidos ante el hermoso espectáculo de poder entender fenómenos naturales a través de las matemáticas, como si entre ellos hubiese un compromiso inquebrantable. No sólo hemos sido testigos de sus descripciones fascinantes sino de su poder predictivo. Un tono más conservador usaría el físico teórico y divulgador Warren Siegel cuando dice “El entendimiento cualitativo está muy bien, pero en ciencias necesitamos números: cuándo, dónde, cuánto. Esto significa que las matemáticas son necesarias”

En los últimos meses hemos comido del plato de Peter Higgs, desde que dos experimentos del CERNCMS  y ATLAS  dieran a la detección de la partícula que lleva su nombre carácter de descubrimiento. Desde entonces, nos hemos divertido leyendo y escribiendo sobre la fenomenología asociada a ese evento (mis ejemplos favoritos aquí o aquí). Sin embargo, es el magnífico modelo matemático de Englert, Brout y Higgs, (también propuesto en el mismo año por  Guralnik, Hagen y Kibble)  lo que les hace merecedores del Premio Nobel, por lo que pienso es un desperdicio quede sólo para el entendimiento de expertos,  escondido al público bajo la válida excusa de su complejidad. Es un reto, pero creo que hay que asumirlo. Así que te pido paciencia y abras la mente al mundo abstracto y verás que es más divertido de lo que te contaron.

Comencemos con la noción de simetrías, es un concepto muy intuitivo, sólo requiere un poco de imaginación. Esboza en tu cabeza un cuadrado, si lo rotas 90 grados a la derecha o a la izquierda obtienes la misma figura frente a tus ojos. Esa es una operación de simetría. Claro, me vas a decir que con rotarlo cualquier ángulo sigue siendo el mismo cuadrado, pero la operación de simetría es la que no te permite distinguir si alguien lo rotó, o no, mientras no estabas mirando, así que una rotación de 60 grados no seria una operación de simetría para un cuadrado.  Ahora, supón que ves un círculo. A ese sí que puedes rotarlo en cualquier ángulo, el que quieras y tendrás una operación de simetría. El ángulo puede ser tan chiquito como desees, ínfimo, o lo que llamamos en matemáticas “infinitesimalmente pequeño”; tan pequeño que trascienda el universo de los instrumentos disponibles o tan grande como quieras. A ese tipo de simetrías se les llama “continuas”, a diferencia de las simetrías del cuadrado que son “discretas”. En particular, éstas operaciones de simetría se llaman rotaciones, pero hay otras como las traslaciones que se observan en dibujos con figuras repetitivas, por ejemplo en algunos cuadros de Escher.

Sym1-Cuadrado
¿He rotado el círculo?
EscherSym.jpg
hum, ¿no he estado aquí antes?

Simetrías en física

Y me vas a preguntar, pero ¿qué tiene que ver un concepto tan abstracto como el de las simetrías discretas y continuas con la física? Pues tienen mucho que ver. Las simetrías son fundamentales pues están en relación íntima con las leyes de conservación de cantidades como la energía, la carga eléctrica, entre otras. A Emmy Noether, una mujer excepcional, le debemos este descubrimiento. Ella se dio cuenta de lo siguiente: que por cada simetría continua, propia de la descripción matemática de un sistema físico, existe una cantidad conservada asociada. Ese es un teorema que ya ha sido demostrado y se llama Teorema de Noether.1,2

¿Cómo se ven las simetrías continuas en ecuaciones matemáticas? Intentaré ilustrar lo más sencillo posible. Consideremos una expresión matemática que contiene una variable “x”. Variable significa que podemos asignarle cualquier número. Esa variable “x” puede representar la posición de un objeto. Ahora bien, supongamos que proponemos otra variable “y” que se relaciona con “x” así “y=x+a”, siendo “a” un número en particular, o lo que llamamos una constante, y nos preguntamos ¿cómo se ve la expresión matemática si la escribimos en términos de “y” en vez de “x”?  Si “x”,  “y” y “a” se pueden imaginar sobre una línea  recta,

LineaXY

decimos que hacemos una operación de traslación a la ecuación.  Si la ecuación en términos de “y” se ve exactamente igual que cuando estaba escrita en términos de “x”, es decir que lo único que cambió es que donde había una “x” ahora hay una “y”, entonces decimos que estas ecuaciones son “invariantes”  bajo traslaciones o, también podemos decir, que el “sistema físico” descrito por ecuaciones que cumplen con esta característica, tiene la simetría “traslacional” y, por el teorema de Noether, decimos que tiene una cantidad física conservada asociada. En este caso, esa cantidad es el “momentum lineal”, que es la masa por la velocidad (cantidades físicas medibles con una balanza, un cronómetro y una cinta métrica). Esto puede ser, por ejemplo, un objeto que se mueve en una linea recta con velocidad constante. Si las ecuaciones que describen un sistema físico siguen siendo exactamente las mismas cuando hacemos una operación de rotación (imagina en el ejemplo anterior que “x”, “y” y “a” son ángulos), entonces se conserva el “momentum angular” que es un concepto que involucra la masa, la velocidad angular y la distancia, todas cantidades físicas medibles. Si la teoría física tiene la simetría bajo traslaciones en el tiempo, entonces se conserva la energía.

Las simetrías en física, a veces son de evidente interpretación, otras veces no. Es el caso del electromagnetismo, que tiene una simetría que no es del espacio-tiempo y que no es evidente, ni intuitiva y no aparenta tener significado mas allá de las matemáticas. Los físicos han tenido que observar muy bien para identificarla. Normalmente se le llama simetría interna (o de calibre, en inglés “gauge”) y la cantidad conservada asociada es nada menos que la carga eléctrica. Así también con descripciones de otras fuerzas, cuyas simetrías “internas”,  están relacionados con la conservación de la carga fuente de la fuerza débil o la fuerte. En este punto quiero felicitarte si llegaste hasta aquí, ¿ves que el mundo abstracto no es de temer? y has aprendido lo importante que son las simetrías en física y, como te imaginas bien, cada vez que tenemos un modelo teórico de un sistema físico, lo primero que hacemos es buscar sus simetrías y tratar de identificar las cantidades conservadas asociadas.

Rompimiento espontáneo de simetrías, el modelo de Higgs y el origen de la masa.

“Un universo simétrico seria aburrido” A. Zee

Dicho todo lo anterior, veremos ahora que las simetrías se pueden romper, como no, y que estudiar ese proceso es importante para los modelos físicos. Entendamos primero cómo se rompe una simetría. Supongamos que tenemos un círculo al que le pegamos dos calcomanías iguales en lugares opuestos, entonces ya no podremos rotarlo el ángulo que queramos para que quede igual, vamos a tener que rotarlo 180 grados para poder obtener exactamente la misma imagen. Entonces, decimos que hemos roto la simetría continua y que ha quedado una simetría discreta, a la que llamaremos simetría residual. Veamos otro ejemplo. Tenemos un lápiz delgado de madera que lo ponemos vertical sobre una hoja de papel. Hacemos presión sobre el lápiz en la dirección del papel, si la presión es muy grande se romperá el lápiz. Pero ¿hacia dónde se romperá? Antes que se rompa o se caiga el lápiz, pudiera ser en cualquier dirección, una vez que el lápiz se rompe y/o se desploma sobre el papel,  decimos que la simetría se ha roto de manera espontánea y que la naturaleza escogió una dirección.

Sym1-CirculoModificado

La pregunta sobre el origen de la masa en física de escala sub-atómica, aparece en el momento en que se observa que los modelos matemáticos de partículas sin masa tienen una cantidad de simetrías que, en algunos casos, desaparecen cuando agregamos masa donde es necesario hacerlo. El caso técnicamente más dramático es el de la fuerza débil, en el que las partículas portadoras de la fuerza, a diferencia del caso electromagnético, son masivas. Allí, la teoría no solamente presentaba simetrías rotas por la obligación de incluir masa, sino que estaba matemáticamente mal definida3. El llamado “Mecanismo de Higgs” ofrece un procedimiento para romper esas simetrías, que estaban “antes” (de incluir la masa), proveer de masa a las partículas que corresponda y hacer que el modelo matemático quede técnicamente impecable. El precio que hubo que pagar, fue la inclusión de una partícula nunca antes observada: el Bosón de Higgs.

El mecanismo de Higgs, en lineas generales no es una creación de Higgs y compañía, en realidad ya existía en física y se llama: Rompimiento Espontáneo de Simetrías y no siempre se usó para arreglar problemas técnicos. Por ejemplo, en física del estado sólido ya se habían estudiado estos fenómenos, en particular en procesos conocidos como “transiciones de fase”. Para que tengas una idea, una transición de fase se da, por ejemplo, cuando el agua al enfriarse pasa de liquido a sólido formándose el hielo.

La observación de éstos fenómenos es que la energía del estado base, o de mínima energía, en algunos sistemas, no posee las mismas simetrías que cuando se encuentra en otros estados de energía más generales. En física es muy importante entender los mínimos de energía pues la naturaleza los busca en todo momento. Así, cuando dichos sistemas alcanzan un mínimo de energía, éste se encuentra degenerado, es decir, que puede adquirir muchos valores posibles y la naturaleza escoge uno. Imagina los ejemplos que hemos manejado, piensa que el mínimo de energía puede tomar cualquier valor en un circulo y que la naturaleza escoge un punto sobre él y nos dice: ¡aquí estoy, soy el estado base! Entonces, se dice que hubo un rompimiento espontáneo de simetría.

Inspirados en estos modelos, Higgs, Englert y los otros, propusieron que la masa proviene de una transición de fase (como la del agua) que le ocurrió al universo (cuando aún estaba caliente) y que en ese proceso de enfriamiento hubo un rompimiento espontáneo de simetrías internas. Para hacer consistente el modelo, fue necesario incluir  la partícula de Higgs4. Entonces, en el universo temprano hay más simetrías en general que las que se observan al alcanzar un mínimo de energía y ninguna partícula tiene masa. En la imagen vemos un gráfico de la energía potencial asociado a un modelo de partículas fundamentales, vemos que su estado base esta degenerado, es decir, puede tomar cualquier valor en el círculo que hace de base al “sombrero mexicano”, así que la naturaleza escoge un punto sobre él y la simetría queda rota. Las operaciones matemáticas que se realizan usando este mecanismo, hacen que las partículas adquieran masa y se obtiene un modelo o el “Modelo Estándar” que describe buena parte de la composición de nuestro universo presente; y, en el camino, todo queda matemáticamente bien definido.

nphys1874-f1
Sombrero mexicano

Bibliografía sugerida

Dirijo este espacio a personas de mente curiosa con conocimientos suficientes de matemáticas y física. Recomiendo estos libros para revisar y profundizar en el tema

  1. F. Halzen y A. D. Martin, “Quarks and Leptones: An Introductory Course in Modern Particle Physics“,  John Wiley and Sons, Inc., 1984
  2. A. Zee, “Quantum Field Theory in a Nutshell“, Princeton University Press, 2003

Notas de pie de página

  1. Existen algunas excepciones en sistemas físicos que no pueden ser descritos con criterios de física estándar, esto es, sistemas que no pueden ser descritos a través de la formulación Lagrangiana []
  2. Las simetrías discretas también son importantes, por ejemplo, estudio de estructura cristalina en sólidos, pero eso es otra historia []
  3. La teoría cuántica presentaba “divergencias” o resultados poblados de infinitos que no tienen interpretación física []
  4. En la literatura científica y  divulgativa te vas a encontrar con una terminología que te pudiera resultar ambigua, esto es, a veces vas a ver la palabra “campo” y otras veces verás la palabra partícula para referirse al mismo objeto, por ejemplo: el campo de Higgs o la partícula de Higgs. Sin embargo no son términos ambiguos ni existe tal cosa como la “dualidad” campo-partícula. Te explico. La formulación matemática consistente para describir a las partículas subatómicas se llama “teoría cuántica de campos”. En ese marco, las partículas elementales son representadas por un objeto matemático llamado “campo” que se interpreta como un conjunto de partículas de la misma naturaleza. Así por ejemplo, el campo electromagnético es un campo de fotones. Existen razones físicas que nos imposibilitan de formular descripciones a ese nivel con objetos matemáticos que representen partículas individuales []
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