Sobre Relatividad Especial, Relatividad General, Gravedad Cuántica y la Teoría de Cuerdas.

“Una construcción polimorfa, es el templo de la ciencia”

Albert Einstein, de su libro “Mi Imagen del Mundo”

“El orden es la repetición de las entidades. El caos es multiplicidad sin ritmo”

M. C. Escher

La teoría de cuerdas es una teoría física –la redundancia no solo vale, es pertinente– que se perfila como un buen candidato a una formulación coherente de uno de los problemas no resueltos más importantes de la física teórica de nuestro tiempo:  la cuantización de la gravedad o gravedad cuántica.

Antes de comenzar el periplo por las ideas que nos llevarán a conocer a la gravedad cuántica y a la teoría de las cuerdas, quiero dejar claro qué es una teoría científica, de modo que cualquier “conocimiento popular” previo quede fuera del contexto de este post. Una teoría en física no es una especulación o una hipótesis, es un marco conceptual riguroso que nos permite hacer una descripción o dar una explicación clara de un fenómeno.

El espacio, el tiempo, puntos y rayas.

 En las teorías clásicas Newtonianas, el tiempo es una cantidad absoluta. Lo usamos para evaluar la evolución de los sistemas, es decir, observamos cambios en los sistemas mientras medimos el paso del tiempo. Sin embargo, estas descripciones, que son muy exitosas y han sido, y son, transformadoras del mundo contemporáneo, dejan de ser efectivas cuando los objetos se mueven a velocidades cercanas a la de la luz en el vacío. En ese régimen, la mejor descripción del universo se hace a través de la Relatividad Especial. En ese escenario, es necesario interpretar el tiempo como una coordenada. Esto es, construimos sistemas de coordenadas con 3 dimensiones espaciales y una temporal o espacio-tiempo, como marcos de referencia para describir los sistemas físicos. Así, el tiempo forma parte de las descripciones geométricas de nuestro entorno.

En física, una discusión importante es cómo establecer normas de observación, de modo que los sistemas queden descritos desde puntos de referencia bien especificados. La relatividad especial se sustenta sobre dos principios fundamentales, el primero de ellos habla precisamente sobre las normas de observación, que son heredadas de la mecánica clásica.

1) El principio de relatividad especial: Dado un sistema de referencia en cual las leyes de la física se cumplen, estas leyes también deben cumplirse para todos los sistemas de referencia que lleven velocidad constante relativa al primero. Estos sistemas de referencia se llaman inerciales.

Reitero: Este principio es clásico, es el mismo que se usa en la mecánica Newtoniana, la disparidad entre Einstein y Newton se funda a partir segundo principio. No obstante, en el caso de Einstein hablamos de sistemas de referencia que incluyen al tiempo. Es decir, los observadores tienen su propia cinta métrica y su propio reloj.

2) La velocidad de la luz en el vacío es finita, constante y no puede ser superada. Este principio debe ser válido en todos los sistemas de referencia inerciales.

Este segundo principio es el más distintivo e importante. A partir de él, obtenemos las definiciones de sistemas de referencia inerciales para el caso relativista y cómo son las transformaciones de coordenadas entre ellos. En términos fundamentales, nos provee de un marco conceptual para definir la causalidad entre los eventos.

La geometría que describe correctamente este continuo espacio-temporal cuadridimensional, bajo esos dos principios, no es Euclídea, se llama Espacio de Minkowski (( Hermann Minkowski fue un matemático lituano del siglo XIX que hizo contribuciones muy relevantes al entendimiento de la Relatividad Especial, entre ellas, la geometría que lleva su nombre)). Sin entrar en los detalles técnicos de lo que significa emplear la geometría de Minkowski, simplemente comento como característica principal que las definiciones matemáticas que usamos para medir distancias en el espacio-tiempo de Minkowski son diferentes a las que conocemos en la geometría Euclídea. Ahora bien, el espacio puro de 3 dimensiones sigue siendo Euclídeo y las distancias medidas allí se llaman distancias espaciales.

Entre los efectos que aparecen en este nuevo marco teórico tenemos que las distancias, medidas en las 3 dimensiones espaciales se contraen, y los tics de los relojes se alejan unos de otros, es decir, el tiempo se dilata al hacer cambios entre sistemas de referencia inerciales.

Esto no quiere decir que se haya perdido física, muy por el contrario, la relatividad especial nos permite calcular, y por lo tanto predecir, exactamente cuánto se contraerá una distancia y cuánto se dilatará el tiempo. Más aun, la Relatividad Especial sí tiene cantidades que son invariantes bajo cambios de marcos de referencia, es decir que son cantidades que medidas en un sistema de referencia, si la vuelvo a medir desde otro obtendré el mismo resultado. Entre ellas tenemos precisamente a las distancias espacio-temporales, es decir a las “distancias” en las 4 dimensiones.

La Relatividad Especial es una teoría increíblemente exitosa, no solamente desde el punto de vista experimental, sino que es el marco teórico que describe correctamente al electromagnetismo, es decir, los fenómenos electromagnéticos son relativistas en su esencia. Comprender esto fue el primer gran paso que dio Einstein en la dirección de la construcción de la Relatividad Especial en 1905 (( On the electrodynamics of moving bodies, “Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, 17, 1905”)). Desde esa fecha, hace ya 110 años, un sinnúmero de experimentos verifican a diario la validez de la relatividad especial. Todos los experimentos que se llevan a cabo en los aceleradores de partículas sólo tienen sentido en el marco relativista, precisamente porque esas partículas se mueven a velocidades cercanas a la luz en el vacío. Más aún, existen fenómenos físicos de la interacción entre la luz y el átomo que sólo pueden ser correctamente descritos si se introducen correcciones relativistas a la teoría cuántica.

Es importante aclarar que la relatividad especial no reemplaza, ni niega la validez de las teorías clásicas, las extiende. Si tomamos a las ecuaciones de la relatividad especial y las llevamos al régimen en el que las velocidades de los objetos son muy bajas comparadas con la velocidad de la luz, inmediatamente se recuperan las ecuaciones clásicas newtonianas del movimiento. De hecho, la ingeniería no ha dejado de usar la mecánica clásica para sus desarrollos tecnológicos.

¿En qué escenarios es relevante corregir con relatividad especial? Cuando los cuerpos viajan a velocidades cercanas a la de la luz. Esto ocurre generalmente en el mundo subatómico. Ahora bien, en ese contexto, es suficientemente adecuado caracterizar el comportamiento de las partículas subatómicas usando puntos en el espacio-tiempo. Esos puntos en el espacio-tiempo se llaman eventos (recordemos que el tiempo está incluido).

Una diferencia esencial con la mecánica clásica es que en ella no existe una noción de la estructura causal del espacio-tempo. El hecho de que nada pueda viajar más rápido que la luz introduce esta noción de causalidad, implica que es imposible para algunos eventos ser causados por otros. De modo que en las teorías clásicas, no hay una noción de que la propagación de la información tarda un cierto tiempo, es decir: se considera que la información llega a todos lados de forma instantánea. Mientras que en Relatividad Especial es fundamental estudiar la estructura causal del espacio-tiempo. El conjunto de los eventos continuados y causales, para un objeto puntual, en el espacio-tiempo de Minkowski se llama línea de universo. Como nada puede viajar más rápido que la luz, la línea del universo de una partícula forzosamente vive encerrada en un cono que representa a ésta velocidad máxima. Todos los eventos que están sobre o dentro del cono son causales.

Ahora, usemos imaginación pura. Supongamos que en vez de usar puntos, usamos líneas y decimos que cada partícula subatómica es en realidad un objeto extendido en una dimensión espacial, es decir, una cuerda. Entonces, los eventos causales de la cuerda ya no dibujarán una línea de universo sino una superficie de universo.

 

La cuerda puede ser abierta o cerrada. Con ella, los físicos teóricos han hallado una manera de describir el microcosmo y sus interacciones. Pero, ¿cómo funciona esta descripción? ¿por qué sería necesaria?, ¿dónde radica su éxito?

La geometría y la materia

Relatividad General, la segunda teoría muy exitosa de Einstein, establece una relación definitiva entre la geometría del espacio-tiempo y la materia. Es una nueva interpretación de los efectos gravitacionales. El concepto de fuerza gravitacional desaparece y la dinámica de los cuerpos (bajo la acción de la gravedad) es explicada por la geometría del espacio-tiempo. En esta teoría, el tiempo también es una coordenada y la velocidad de la luz es constante y representa un límite, tal como en la Relatividad Especial. Sin embargo, la Relatividad General admite más geometrías del espacio-tiempo que la de Minkowski.

En el caso de la Relatividad General, los fenómenos relevantes aparecen cuando los campos gravitacionales son fuertes, es decir cerca de cuerpos muy masivos. A medida que nos alejamos de los cuerpos muy masivos o si estamos en la vecindad de cuerpos celestes pequeños, la gravitación de Newton sigue siendo válida. Por ejemplo, es posible describir bien a casi todo el sistema solar con la gravitación de Newton. Sin embargo, la órbita de Mercurio, el planeta más cercano al Sol, necesitó de la Relatividad General para poder ser descrita con precisión.

La materia, su composición, sus interacciones y la gravedad cuántica

Prácticamente al mismo tiempo que se desarrolló la Relatividad Especial, apareció la Mecánica Cuántica y poco después, hacia los años treinta, se estableció la unión entre la Mecánica Cuántica y la Relatividad Especial que resultó en el desarrollo de lo que hoy llamamos Teoría Cuántica de Campos, marco teórico del Modelo Estándar de partículas subatómicas: la mejor descripción actual de los componentes de la materia y sus interacciones. Sin embargo, el Modelo Estándar no cuenta toda la historia, pues en él solo están descritas 3 de las 4 fuerzas fundamentales de la materia: la electromagnética, y las dos fuerzas nucleares que son la débil y fuerte (( Para conocer un poco más sobre este tema, te recomiendo este artículo)). Hasta ahora, incluir la gravedad ha representado un reto descomunal, tanto desde el punto de vista técnico matemático como desde el punto de vista experimental. Por ejemplo, un experimento para medir la atracción gravitacional entre partículas subatómicas es prácticamente imposible pues la gravedad es mucho más débil que las otras 3 fuerzas.

Por otro lado, las partículas subatómicas son los “ladrillos constructores” de la materia y no hay ninguna razón para suponer que la gravedad no esté presente a ese nivel. La Relatividad General debería ser válida a cualquier escala, de modo que las partículas más elementales deberían interaccionar a través de la gravedad descrita por la Relatividad General. La esperanza es que se logre construir una teoría más grande y más rica que incluya al Modelo Estándar y a las interacciones gravitacionales entre partículas subatómicas. A esta teoría, que aún no existe, se le llama Gravedad Cuántica. Los físicos teóricos trabajan duro en formularla, y de hecho existen dos buenas candidatas: uno se llama Gravedad Cuántica de los Lazos (Loop Quantum Gravity) y el otro es la Teoría de Cuerdas (String Theory).

La cuerda

La motivación que originó la idea de las cuerdas fue el estudio de las interacciones nucleares. El planteamiento original, de los años 60’s es de los físicos japoneses Yoichiro Nambu y Tetsuo Goto, quienes propusieron su primera formulación matemática, conocida como “La acción de la cuerda de Nambu-Goto”. Otros físicos contribuyentes en la construcción e interpretación de la teoría de cuerdas fueron Pierre Ramond, André Neveu y John Schwartz.

El modelo de las cuerdas, como descripción específica de las interacciones entre protones y neutrones, fracasó y, de hecho, se encontró una manera muy satisfactoria de explicar a las fuerzas nucleares dentro del propio Modelo Estándar de partículas. Sin embargo, la idea de usar “las cuerdas”, como descripción fundamental, no fue abandonada, (ni las formulaciones de Nambu-Goto, Ramond-Neveu-Schwarz). Los teóricos de la física continuaron su exploración. A continuación, veremos que después de más de 40 años de estudios, hay una cantidad de resultados más que excitantes.

La cuerda puede “sonar” y cada “sonido” representa a una sustancia

Con la cuerda, lo primero que nos imaginamos es que es capaz de manifestarse a través de sus vibraciones, como la cuerda de un violín. Es decir, se estudian las ecuaciones matemáticas que describen a las vibraciones de la cuerda (recordemos que en este caso cuerda es una abstracción matemática). La primera observación es que se encuentran modos de vibración perfectamente interpretables como partículas subatómicas. La frecuencia de vibración de cada modo determina su energía y por lo tanto, la masa de la partícula que representa. En estos modos también se pueden identificar otras propiedades cuánticas de las partículas. Así, familias de entidades elementales subatómicas del Modelo Estándar conocidas se interpretan como modos de vibración de la cuerda: electrones, fotones, positrones, quarks, etc. Más aún, algunos modos se pueden interpretar como partículas que son capaces de transmitir la fuerza de gravedad (o gravitones).

Sin embargo, la teoría de cuerdas viene con algunas desventajas.

1. Su análisis físico cuántico la obliga a vivir en un espacio-tiempo de 26 dimensiones, una temporal y 25 espaciales. La pregunta de rigor, para que la cuerda pueda representar al mundo fundamental, es ¿por qué no vemos al resto de las 22 dimensiones espaciales redundantes? ¿Tienen los físicos un plan para atacar este problema? Pues sí, se trata de “esconder” las dimensiones extras en rollos muy pequeñitos, imperceptibles a escala humana, e incluso al mundo atómico, pero que deberían poder observarse a escalas subnucleares, es decir a distancias más pequeñas que un núcleo atómico.
2. Más grave aún, en la teoría hay taquiones (partículas que viajan más rápido que la luz en el vacío), cosa que no tiene sentido desde el punto de vista relativista.

Para rescatarnos de estos problemas, los físicos teóricos inventaron a las Supercuerdas. No, no es un chiste, así se llaman; veamos por qué.

Más partículas, más física

Las sustancias subatómicas tienen una propiedad física que se llama el espín, que esencialmente nos indica si cumplen o no con el principio de exclusión de Pauli. Aquellas partículas que cumplen con ese principio se llaman fermiones y las que no, se llaman bosones (( Estos nombres hacen honor al físico italiano Enrico Fermi y al físico hindú Satyendra Nath Bose, quienes proporcionaron las bases teóricas para el entendimiento de los fermiones y bosones )). Los electrones y protones son fermiones y los fotones son bosones. Los fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico (de energía, de espín, y de otras cantidades físicas llamadas números cuánticos) al mismo tiempo. Ese es el principio de exclusión de Pauli. El principio de exclusión de Pauli es el que “organiza” a las partículas subatómicas y hace posible a la materia como la conocemos.

Principios fundamentales de la física teórica, prevén la existencia de una simetría del espacio-tiempo, a escalas del microcosmos, que establece una correspondencia entre fermiones y bosones. Es decir que cada fermión, en principio, debería tener un compañero bosón y cada bosón debería tener un compañero fermión. Esta simetría se llama supersimetría. Por ejemplo, por cada electrón que observamos debería existir una partícula con las mismas propiedades de masa y carga eléctrica que el electrón, pero que no cumpla con el principio de exclusión de Pauli, es decir que sea un bosón. Los científicos ya le asignaron un nombre, se llama el selectrón. El único problema es que, si es cierto que la supersimetría está presente en la naturaleza, es muy escurridiza pues no ha podido ser observada experimentalmente, hasta ahora ((Para aprender sobre las simetrías en las teorías físicas te recomiendo mi artículo sobre el Higgs)). Actualmente los científicos buscan los rastros de la supersimetría en los aceleradores de partículas, como el gran colisionador de hadrones (LHC-CERN) y en los rayos cósmicos.

Sin embargo, los teóricos prueban con todas las herramientas que estén bien definidas matemáticamente, así que, efectivamente, se explora la posibilidad de incluir supersimetría en la teoría de cuerdas, y ocurren cosas interesantes. Primero que nada, la teoría ya no necesita 26 dimensiones sino 10. Además, el espectro de partículas ya no incluye a los inexplicables taquiones. Entonces, la teoría ahora se llama de supercuerdas. Los pioneros de la supersimetría fueron los rusos Volkov y Akulov, y el japonés Miyazawa, en los años 60-70; pero fueron el austríaco Julius Wess y el italiano Bruno Zumino quienes le dieron consistencia y completitud.

La supercuerda es diminuta, diminuta

Las ecuaciones matemáticas que describen el entorno físico contienen cantidades que requieren “unidades de medida”, como la distancia, el área, el tiempo, la masa, etc (entonces la unidades son: metros, segundos, gramos, etc). Estas cantidades se llaman en general dimensiones. Así, hacemos contacto entre las teorías y las mediciones experimentales. Además de las dimensiones, las teorías físicas incluyen constantes universales, como por ejemplo la constante de gravitación universal de Newton “G”, que también se requiere en la Relatividad General (( Recordemos la ley de gravitación universal de Newton [latex] F= -GMm/r^2 [/latex])).

Una delicada lumbre en la oscuridad del estudio teórico la ofrece el análisis dimensional. La pregunta, en el caso de la gravedad cuántica, es ¿a qué distancia sería relevante la interacción gravitacional entre partículas elementales? y la respuesta, por ahora, está dada por el análisis de las dimensiones entre constantes fundamentales. Para ello usamos: la constante de Planck, fundamental cuando aparecen los efectos cuánticos; la velocidad de luz en el vacío (fundamental en la Relatividad Especial y General) y la constante de gravitación universal. Si las combinamos de modo tal que el resultado tenga dimensiones de longitud, entonces obtenemos una buena pista de a qué distancias se debería observar la gravedad cuántica, y el resultado se conoce como longitud de Planck: a [latex] l= 10^{-35} m[/latex]. Esto es, [latex]0,00000000000000000000000000000000001[/latex] metros (no los cuentes, hay 35 ceros).

Esto quiere decir que la gravedad cuántica debería manifestarse a esa escala, es decir, si lográsemos medir a la longitud de Planck, en principio, la podríamos ver. Los seres humanos aún no hemos diseñado un experimento capaz de observar eventos a esas escalas. El gran colisionador de hadrones del CERN, el equipo más avanzado del mundo para hacer experimentos que observan microcosmos, llega sólo hasta los [latex] 10^{-18} m [/latex].

Por otro lado, en 1975, Stephen Hawking, intentando introducir mecánica cuántica en la teoría de los agujeros negros, encontró que estos podrían tener cierta temperatura. Los objetos con temperatura radían, por lo que este efecto es conocido como Radiación de Hawking. La fórmula de la temperatura dada por Hawking relaciona también a las constantes fundamentales que usamos para hallar la longitud de Planck. El estudio de los agujeros negros con temperatura de Hawking podría también ayudar a encontrar una teoría de la gravedad cuántica. Ajá y ¿qué tienen que ver las cuerdas en todo esto? Pues que la teoría de cuerdas es cuántica y contiene a la relatividad general, y, por lo tanto, los agujeros negros que radían también pueden ser estudiados en el contexto de la teoría de supercuerdas. Sin embargo, la radiación de Hawking tampoco ha sido observada.

¿Observaremos a las cuerdas a la escala de Planck? ¿Es posible que la gravedad cuántica se manifieste a otra escala? ¿Existe la gravedad cuántica? No lo sabemos. Por lo pronto hay más preguntas que respuestas. En resumen podríamos estar lejos de detectar a la gravedad cuántica, entender su naturaleza y corroborar la validez de las teorías del todo, entre ellas de la teoría de cuerdas (o supercuerdas).

Y si te preguntas ahora si, así como considero un objeto que se extiende en una dimensión, ¿por qué no considerar una membrana o un volumen? Pues, sí, estás en la vía correcta. Esas formas también han sido consideradas. Pero, mejor dejamos esa historia para otro post.